今天来说说最速降线问题，在数学史上这个问题和悬链线问题一样著名，问题的解决还催生了数学方法“变分法”的诞生。
先说说问题的历史和发展：
1696 年 6 月约翰·伯努利以最速降线问题向欧洲数学界发起挑战，他说：“我，约翰·伯努利，向世界上最杰出的数学家喊话。对聪明人来说，没有什么比正确的、具有挑战性的问题更有吸引力的了，它的解决方案将赋予解答者名誉并作为永恒的纪念碑而存在。以帕斯卡、费马等人为榜样，我希望通过向我们这个时代最优秀的数学家提出一个考验他们方法和智力的问题，使他赢得整个科学界的崇敬。如果有人向我传达了所提出问题的解决方案，我将公开宣布他值得表扬”。
约翰·伯努利将问题陈述为：若A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接A和B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所需时间最短。
其实早在1638 年，伽利略在他的《两门新科学》中就提到了这个问题，只不过伽利略认为最短路径是圆弧，当然这答案是错误的。
约翰·伯努利宣称自己已得到问题的解答并将挑战时限定为六个月，但在此期间他没有收到任何回复。应莱布尼茨的要求，挑战时间公开延长了一年半。1697 年 1 月 29 日，当艾萨克·牛顿回到家时，发现约翰·伯努利写给他的一封信，信中以最速降线问题向他发起挑战。牛顿仅用一个晚上就解决了这个问题，并匿名发表在哲学汇刊上。伯努利读到牛顿的答案后，立刻认出了它的作者，并惊呼“从爪印认出了狮子”。当时牛顿已经54岁，沉迷于神学，很久没关注数学了。其实牛顿的解答很简洁,基本上就算只写了答案,没过多的论述原理,凭牛顿的实力应该是不屑于写(意思是我仅凭几何想象就能吊打你，据说牛顿之所以要一个晚上才解出来，是因为太久没接触数学，需要点时间热身)。
然而约翰·伯努利自己却花了整整两周时间才解出这个问题，真是装逼遇到祖师爷……
牛顿后来对他的朋友说，“我不喜欢一些人在数学上挑战我……”
除了牛顿，莱布尼兹、洛比达以及雅各布·伯努利等也解决了这个问题。
看上面动图可知，有一条路径是用时最短的，那这条曲线到底是什么呢?答案是摆线，即圆周上固定一点在圆滚动时的轨迹。