三、数学理解的EFSTC五层级模型教学实践案例
图5 EFSTC 过程模型
数学理解性学习层级发展的EFSTC过程模型，是指学生在学习过程中会依次经历经验性理解、形式化理解、结构化理解、迁移性理解、文化性理解五个发展阶段，简称EFSTC过程模型。该过程模型体现了学生在学习数学的过程中理解水平的变化。过程模型的提出，是基于对学生理解发展的过程性、阶段性的必要性本质考虑。教师认为简单的知识，对学生而言不一定同样简单。学生学习数学感觉很“难”，主要是理解上难，而理解上“难”一是难在“抽象”，二是难在“复杂”。
教学实践中往往非常忽视“经验性理解”，其实，从“经验性理解”到“形式化理解”非常重要而且难度高。因为这一阶段是抽象能力形成的关键时期。从“形式化理解”到“结构化理解”解决得好就能化解第二个难——“复杂”
在初中阶段函数的定义是从“变量说”的角度加以界定的. 并且刻画这种变化关系的三种形式（列表法、图象法与解析式）都是一种直观呈现. 学习初中函数概念的难点是要抽象概括出“对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应”这样一个结论.
初中“经验性理解—形式化理解—结构化理解”分析如下：
经验性理解：观察具体实例，分析共性特征，提炼本质特征（三要素），归纳概括概念；
形式化理解：引入符号简化（解析式）；
结构化理解：与方程、不等式知识建立联系。
所以，初中的重点要在经验性理解上，而不是多做题，因为题目大多是在“迁移性理解”，否则“迁移性理解”成了“空中楼阁”。这也是很多学生学不好数学的根源。
在高中阶段对函数的概念是从“对应说”的角度进一步理解函数的定义，特别是在对应法则的理解是函数概念学习的第一次简单抽象；要求要掌握对应，体会用符号对函数进行形式化的描述，能形成函数对象.其中对应法则f的了解对高一学生来说可以是最内层的“经验性理解”的水平.但对初中学生来说这已经是“形式化理解”、“结构化理解”的水平（“形式化”）.
高中“经验性理解—形式化理解—结构化理解”分析如下：
经验性理解：初中已学的函数（一次函数、二次函数、反比例函数）观察具体实例，分析共性特征，提炼本质特征(定义域、值域、对应法则)，归纳概括概念；
形式化理解：引入符号简化（抽象符号f(x)，采用大量的初中学过的例子为依托，在抽象的过程中还要关注初中的函数的一些关键词，如“每一个变量”“唯一的变量”“对应”，让学生体会函数概念中所包含的重要信息，从而抽象出对应法则f）；函数的表示方法。
结构化理解：进行一步研究函数的性质；并与其他知识如方程、不等式等知识建立联系。
而高中f(x) 的抽象与概括过程即为在初中基础上的第二次抽象，重点要认识抽象符号f(x)，这就是函数不同时期学习显示出来的“理解层次”。所以，无论初中、高中，在学习函数概念之前，为了了解学生的抽象概括水平，都要对学生做一些调研.
抽象的两个阶段：第一阶段是基于客体的抽象，从感性具体到理性具体，从辨别到概括，表现为用自然语言表达的直观描述；第二阶段是基于逻辑的抽象，从理性具体到理性一般，从概括到形式化完成符号表达.可见，从“经验性理解”到“形式化理解”不能只从字面意义上去看。
从学习心理上看，概念的学习主要有概念形成与概念同化两个过程. 关于这两个过程的学习理论大都建立在皮亚杰的认知结构的基础上. 其中，概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程. 其具体过程如图６所示.
图６
而概念同化的心理过程则主要包括以下两个阶段.
（1） 辨认. 辨认定义中的新观念哪些是已有概念，新、旧观念之间存在什么关系，辨认过程包含了回忆与知识的重现. 例如，学习矩形的概念，在给出矩形的定义后，学生必须对四边形、平行四边形、相邻两边的夹角等已有概念进行回忆和辨认.
（2） 同化. 建立新概念与原有概念之间的联系，把新概念纳入原认知结构中，使新概念被赋予一定的意义. 例如，上述关于矩形概念的学习，学生将矩形与平行四边形比较，发现新概念是已有旧概念的组合，于是通过建立新、旧概念的联系获得矩形的概念，同时，获得新概念后又扩大和改组了原有的数学认知结构. 通过将新概念与某些反例相联系，使新概念更加稳固和清晰.
函数的概念就经历了第一次抽象（初中阶段）到第二次的抽象（高中阶段）. 应该说第一次抽象更本质，它第一次“创造”了新的概念，
从图６看出，“经验性理解”的层次包含了形式化之前的（１）——（６），六个细分的环节。第二次抽象只是从形式上解析了这些“创造”. 这两个阶段很形象地说明了初高中对“函数”概念的理解水平层次，也让我们明白每一个层次水平都很重要，最前期层次的水平并不是最低的水平，只是人内部思维的心理行为过程.这也体现了，初中有从上述分析的过程中理解函数而只会“刷题”的学生，高中是学不好数学的。
为了让读者更好的体会“数学理解性学习层级发展的EFSTC过程模型”，下面提供两个教学设计实例。
案例２ 以“一元二次方程”的教学为例，基于数学理解性学习的五个发展阶段，展开具体教学实践研究如下。
（一）情境创设：激活经验性理解
1.操作活动
活动1.在单位长度为1的正方形方格纸上画一个面积为4的正方形。说说你画图的过程，你是怎么考虑的？
活动2.画一个面积为5的正方形呢？说说你画的过程。
活动3.画一个面积为24的长方形，且长比宽大2，怎么画？
思考：在这几个问题解决过程中，关键步骤是什么？用怎样的式子来表达这个问题？怎样解决？
2.实际问题
问题1.如图7，梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m，假设梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子底端向右滑动的距离。若设梯子底端向右滑动的距离为xm，则x应满足怎样的方程？
图7
问题2.某学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到9.8万册，求图书馆的藏书平均每年增长的百分率是多少。若设藏书平均每年增长的百分率是为x，则x应满足怎样的方程？
该操作活动的设计源自数学内部的问题情境，让学生在画图的过程中逐步抽象出方程模型，感受到方程是刻画现实世界的有效数学模型，并体会到解决了这个数学模型，就解决了这个实际问题。实际问题的设计源自基于实际生活的问题情境，让学生感受到数学来源于生活。学生通过建立方程模型把实际问题转化为数学问题，进一步感受方程是刻画现实世界的有效数学模型。学生在学习本节课之前，已经学习了一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，设计不同情境的问题，旨在激活学生已有经验，促进学生对学习对象的起始性理解。
数学知识并不仅仅来源于课堂教学情境，也来源于学校场景之外的日常生活场景。研究表明，日常数学作为数学知识的一种形态，对学生学校数学知识的掌握和理解具有重要的影响。在日常数学思维向学校数学思维转变的过程中，先期进入的日常数学知识和后期进入的学校数学知识常常会使学生产生认知冲突，也可能会使他们产生认知协同。事实上，无论是认知冲突，还是认识协同，都会对学生的数学理解造成影响。因此，恰当地建立起学校数学与日常数学的联系，将日常数学作为学校数学学习的出发点和必要背景，可以有效促进学生的数学理解。
（二）归纳提炼：生成形式化理解
1.揭示特征
师：请同学们仔细观察这四个方程：
（1）x(x+2)=24；（2）
（3）
这些方程有哪些共同的特征？
2.定义与符号化
师：满足了这样三个特征的方程叫作一元二次方程，请大家尝试着概括一元二次方程的定义。
（在学生得到定义后）
师：一元二次方程在结构上有共同的特征吗？你能表示出来吗？
通过观察四个方程，引导学生总结出一元二次方程概念的特征：含有1个未知数，未知数的最高次数是2，整式方程。形成概念以后，引导学生观察方程的结构，得到一元二次方程的一般形式。如此设计旨在引导学生对已有经验知识进行组织、概括与重新表征，使经验性知识逐步摆脱认识中的非本质属性，形成本质化认识。
让学生自己建构数学既是教学的目标，也是他们理解数学的一种方式。当课堂上只有教师的教而没有给学生真正学习关键思想和关联点的机会时，学生的理解也就无从谈起。因此，发展学生的数学理解，重要的是让学生经历学习过程，自己建构数学知识。
为了思考和交流，人们需要以某种方式来表示一个特定的概念，这种表示的方式被称为概念表征。每一个抽象的数学概念都可以有不同的数学表征，不同表征之间的互译可以丰富儿童对概念内涵的洞察和把握。因此，在教学中，鼓励学生用自己有意义的形式表征他们的数学观点，在不同的表征方式之间形成丰富的联系，有利于他们形成丰富的概念意象，从而深入理解数学知识。
（三）概念辨析：引导结构化理解
师：判断下列方程中哪些一定是一元二次方程。
（1）
（3）
（5）2x-３=0；（6）
师：如何判断一个方程是否是一元二次方程？它与我们以前学习的分式方程、一元一次方程、二元一次方程有何联系与区别？
经过形式化理解，学生对一元二次方程的概念已经有了本质的认识。通过概念辨析，比较一元二次方程与已经学习过的知识，进行精细的信息加工，将新的概念与已有的认知结构中的概念联系起来，并与已有的知识经验进行类比，就很容易被记忆系统所认可并得到存储。从单一的形式化理解发展到具有关联性的结构化理解，是学习者对知识理解层级的一个重要跨越。
就数学学习而言，无论是一个概念的形成，还是整体认知结构的产生，都需要经历一个建构的过程。用瑞士儿童心理学家皮亚杰的话说就是：“每一个结构都是心理发生的结果，而心理发生就是从一个较初级的结构过渡到一个不那么初级的结构。”因此，理解不仅仅是将新知识与旧知识建立联系，更是创建一个丰富的、整合的知识结构。
（四）实际运用：达成迁移性理解
运用1.关于x的方程
运用2.关于x的方程
运用3.请你来设计一道习题：关于x的方程是一元二次方程，则m应满足的条件是什么？
这3道运用题的设计，旨在考查学生对一元二次方程本质属性的理解以及灵活迁移运用的能力。在问题情境设计中，让一些问题从封闭走向开放，让学生参与设计、解答、互评，有利于培养学生提出问题、解决问题的能力。学生参与设计问题、从多角度提出问题，可以让他们在变式训练中更好地把握问题的本质和规律，促进对概念的深刻理解。
基于真实任务的问题解决将学校学习视为“现实世界创造性社会实践中完整的一部分”，对促进学生的数学理解具有重要的作用。真实的任务为学生提供了一个有意义学习并促进知识向日常生活运用转化的实践场。在这一实践场中，知识、思维和学习的情境是紧密联系的，学生的信念、经验和背景构成了问题解决的概念工具。
（五）自我总结：促进文化性理解
教师引导学生设计自我总结的提纲：
1.通过这节课的学习，你对一元二次方程有哪些认识？与我们学过的知识有何联系或区别？
2.通过这节课的学习，你感悟到哪些数学思想方法？
3.通过这节课的学习，请你与同伴合作绘制一元二次方程学习的知识网络图。
在学生自我总结的同时，引导其学会“思前想后”，从而系统地梳理知识的脉络。教师在关注知识体系的同时也要关注个体学习的情况，让学生说一说感悟与疑惑，进一步提升学习的效果。引导学生绘制知识网络图，旨在形成对一节课学习的综合的、整体的认识和理解。
学生数学理解水平是发展变化的、有差异的．数学概念的形成和关系的建立具有层次性，因而数学理解不是一蹴而就的，具有动态性、阶段性、渐进性等特征．
要接受学生数学理解的差异性，让学生在突破自我中努力达到自己潜在的最高理解水平．在力所能及的范围内，鼓励学生追根问底式的深层次学习，摒弃浮光掠影式的表层次学习，达到“结构性理解”的水平；鼓励学生对知识的自我建构，达到“迁移性性理解“水平；鼓励学生在数学的历史文化中进行熏陶，达到“文化性理解”的水平．
(全文完)
向所有参考材料作者表示感谢！